ZNO 2014

ZNO 2014

1

Ha $$m=n-1,$$ akkor $$7-m=$$

Якщо $$m=n-1, $$то $$7-m=$$

А
$$n-8$$
Б
$$6-n$$
В
$$8-n$$
Г
$$n-6$$
Д
$$6+n$$
2

Melyik ábrán látható az $$y=\frac{5}{x}$$ függvény grafikonja?

На якому рисунку зображено ескіз графіка функції $$y=\frac{5}{x}$$

А
Б
В
Г
Д
3

Az  $$\overline{OA}$$ vektor a térbeli koordinátarendszer $$O_z$$ tengelyén fekszik (lásd ábra) és kezdőpontja egybeesik az origóval. Határozza meg az $$\overline{OA}\ $$vektor koordinátáját, ha hossza egyenlő $$3$$.

Вектор $$\overline{OA}$$ лежить на осі $$z$$ прямокутної декартової системи координат у просторі (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора $$\overline{OA}$$якщо його довжина дорівнює $$3$$.

А
$$\left(1;\ 1;\ 1\right)$$
Б
$$\left(0;\ 3;\ 0\right)$$
В
$$\left(0;\ 0;\ 3\right)$$
Г
$$\left(3;\ 0;\ 0\right)$$
Д
$$\left(3;\ 3;\ 3\right)$$
4

Válassza ki azt az egyenletet, amelynek gyöke a $$2$$ szám.

Укажіть рівняння, коренем якого є число $$2$$

А
$$\frac{1}{x-2}=0$$
Б
$$x^2+4=0$$
В
$$5x+12=2$$
Г
$$\frac{3x-6}{x}=0$$
Д
$$x+2=x$$
5

A felsorolt állítások közül melyik lesz igaz?

I. Két bármilyen csúcsszög összege $$180°$$ 

II. Két bármilyen mellékszög összege $$180°$$ 

III. Egy bármilyen hegyesszög és egy bármilyen tompaszög összege $$180°$$ 

Які з наведених тверджень є правильними?

І. Сума двох будь-яких вертикальних кутів дорівнює $$180°$$ 

II. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює $$180°$$ 

III. Сума будь-якого гострого кута та будь-якого тупого кута дорівнює $$180°$$ 

А
csak I
Б
csak II
В
csak I és III
Г
csak II és III
Д
I, II és III
6

Az első évfolyamos főiskolásnak három idegen nyelv közül kell egyet kiválasztania, amelyet tanulni és az öt sportfoglalkozás közül szintén egyet, amelyet látogatni fog. A főiskolásnak összesen hány lehetősége van kiválasztani az idegen nyelvet és a sportfoglalkozást?

Студент на першому курсі повинен вибрати одну з трьох іноземних мов, яку вивчатиме, та одну з п'яти спортивних секцій, що відвідуватиме. Скільки всього існує варіантів вибору студентом іноземної мови та спортивної секції?

А
$$5$$
Б
$$8$$
В
$$10$$
Г
$$15$$
Д
$$28$$
7

Egyszerűsítse a $$\frac{\sqrt[3]{64}}{64}$$ kifejezést.

Спростіть вираз $$\frac{\sqrt[3]{64}}{64}$$

А
$$\frac{1}{16}$$
Б
$$\frac{1}{4}$$
В
$$\frac{1}{3}$$
Г
$$4$$
Д
$$16$$
8

Az $$\left(a_n\right)$$ számtani sozozat az $$a_n-4-8n$$ képlettel van megadva. Határozza meg a számtani sorozat különbségét.

Арифметичну прогресію $$\left(a_n\right)$$ задано формулою n-го члена$$a_n-4-8n$$. Знайдіть різницю цієї прогресії.

А
$$8$$
Б
$$4$$
В
$$-2$$
Г
$$-4$$
Д
$$-8$$
9

A $$C$$ pont a derékszögű koordinátarendszer $$x$$ tengelyén az $$A\left(-2;\ 4\right)$$ ponttól $$5$$ egység távolságra fekszik. Határozza meg a $$C$$ pont koordinátáját

Точка $$C$$ лежить на осі $$x$$ прямокутної системи координат і знаходиться на відстані $$5$$ від точки $$A\left(-2;\ 4\right)$$. Відрізок $$AC$$ перетинає вісь y. Знайдіть координати точки $$C$$.

А
$$\left(1;\ 0\right)$$
Б
$$\left(0;\ 1\right)$$
В
$$\left(-5;\ 0\right)$$
Г
$$\left(0;\ 0\right)$$
Д
$$\left(3;\ 4\right)$$
10

Az ábrán a $$\left[-6;\ 6\right]$$ intervallumon értelmezett $$y=f\left(x\right) $$függvény grafikonja látható. A következő tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik az $$f\left(x\right)$$  függvény?

На рисунку зображено графік функції $$y=f\left(x\right)$$, визначеної на проміжку $$\left[-6;\ 6\right]$$. Яку властивість має функція $$y=f\left(x\right)$$?

А
a függvény periodikus
Б
a függvény a $~[–6; 6]~$ intervallumon növekedő
В
a függvény a $~[–6; 6]~$ intervallumon csökkenő
Г
a függvény páros
Д
a függvény páratlan
11

A felsorolt intervallumok közül melyikhez tartozik a $$\sqrt[3]{2x}=-3$$ egyenlet gyöke?

Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $$\sqrt[3]{2x}=-3$$

А
$$\left(-30;\ -20\right)$$
Б
$$\left(-20;\ -10\right)$$
В
$$\left(-10;\ 0\right)$$
Г
$$\left(0;\ 10\right)$$
Д
$$\left(10;\ 20\right)$$
12

Oldja meg a $$tg\left(3x\right)=\sqrt{3}$$ egyenletet.

Розв'яжіть рівняння $$tg\left(3x\right)=\sqrt{3}$$

А
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in Z$$
Б
$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in Z$$
В
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in Z$$
Г
$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$
Д
$$x=\frac{\pi}{9}+\pi n,\ n\in Z$$
13

Az $$ABC$$ hegyesszögű háromszögben meghúzták a $$BM$$ magasságot. Határozza meg az $$AB$$ oldal hosszát, ha $$BM=12$$, $$A\angle =\alpha$$.

У гострокутному трикутнику $$ABC$$ проведено висоту $$BM$$. Визначте довжину сторони $$AB$$, якщо $$BM=12$$$$\angle A=\alpha$$ 

А
$$\frac{12}{\cos\alpha}$$
Б
$$12\ \cos\alpha$$
В
$$12\ \text{tg}\ \alpha$$
Г
$$12\ \sin\ \alpha$$
Д
$$12\ \sin\ \alpha$$
14

Ismeretes, hogy $$\operatorname{ctg} \alpha <0,\ \cos \alpha >0$$ Milyen értéket vehet fel $$\sin \alpha $$?

Відомо, що $$\operatorname{ctg} \alpha <0,\ \cos \alpha >0$$. Якого значення може набувати $$\sin \alpha $$?

А
$$-1$$
Б
$$-\frac{1}{2}$$
В
$$0$$
Г
$$\frac{1}{2}$$
Д
$$1$$
15

Ha $$a<-7$$ ,akkor$$\left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=$$

Якщо $$a<-7$$, то $$\left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=$$

А
$$7-a$$
Б
$$a+7$$
В
$$a-7$$
Г
$$0$$
Д
$$-7-a$$
16

Az ábrán egy olyan gúla  kiterített felülete látható, amely egy $$10cm$$ oldalú négyzetből és négy szabályos háromszögből áll. Határozza meg az adottgúla oldalfelszínének területét ($$cm^2$$-ben).

На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює $$10см$$, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у $$см^2$$ ).

А
$$100\sqrt{3}$$
Б
$$100$$
В
$$400\sqrt{3}$$
Г
$$100\cdot\left(1+\sqrt{3}\right)$$
Д
$$200$$
17

Oldja meg az $$\left(x+4\right)^2\le 16$$ egyenlőtlenséget.

Розв'яжіть нерівність $$\left(x+4\right)^2\le 16$$

А
$$\left(-\infty;\ 8\right]$$
Б
$$\left(-\infty;\ 0\right]$$
В
$$\left(-\infty;\ 4\right]$$
Г
$$\left[-8;\ 8\right]$$
Д
$$\left[8;\ 0\right]$$
18

Az $$AB$$ szakasz az $$\alpha$$ síkot egy $$O$$ pontban metszi. Az $$AO$$ és $$BO$$ szakaszok vetületei az $$\alpha$$ síkra megfelelően $$5 cm$$ és $$20 cm$$ egyenlő. Határozza meg az $$AB$$ szakasz hosszát, ha $$AO=8 cm$$.

Відрізок $$AB$$ перетинає площину $$\alpha$$ в точці $$O$$. Проекції відрізків $$AO$$ і $$BO$$ на цю площину дорівнюють $$5 см$$ і $$20 см$$ відповідно. Знайдіть довжину відрізка $$AB$$, якщо $$AO=8 см$$.

А
$$10\ cm$$
Б
$$22\ cm$$
В
$$32\ cm$$
Г
$$40\ cm$$
Д
$$52\ cm$$
19

A város főterén beton téglatest alakú virágládákat állítottak fel, amelyeknek $$40 cm$$, $$40 cm$$ és $$50 cm$$ (lásd ábra) méretei vannak. A négy oldallap mindegyikének vastagsága $$5 cm$$, az alaplapé pedig $$10 cm$$. Milyen tömegű betont ($$m^3$$ – ben) használtak fel $$10$$ virágláda elkészítéséhez? A készítéskor keletkezett betonveszteséget mellőzze.

На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють $$40 см$$, $$40 см$$ і $$50 см$$ (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить $$5 см$$, а товщина днища ‒ $$10 см$$. Який об'єм бетону (у $$м^3$$ ) було використано для виготовлення $$10$$ таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

А
$$0,32\ m^3$$
Б
$$0,33\ m^3$$
В
$$0,36\ m^3$$
Г
$$0,44\ m^3$$
Д
$$0,8\ m^3$$
20

Válassza ki az $$y=f\left(x\right)$$ függvény érintőjének egyenletét az $$x_0=1$$ abszcisszájú pontban, ha $$f\left(x_0\right)=5,\ f'\left(x_0\right)=2$$

Укажіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції $$y=f\left(x\right)$$ у точці з абсцисою $$x_0=1$$, якщо $$f\left(x_0\right)=5,\ f'\left(x_0\right)=2$$

А
$$y=1+2\left(x-5\right)$$
Б
$$y=5+2\left(x+1\right)$$
В
$$y=2+5\left(x-1\right)$$
Г
$$y=2+5\left(x+1\right)$$
Д
$$y=5+2\left(x-1\right)$$
21

Az (1 – 4) felsorolt kifejezésekhez válasszon vele (А – Д) azonosan egyenlőt, ha $$m > 2$$ , $$m$$  – természetes szám.

До кожного виразу (1 ‒ 4) доберіть тотожно йому рівний (А ‒ Д), якщо $$m > 2$$, $$m$$ ‒ натуральне число.

1. $~(m+1)^2–m^2−1~$
2. $~m\cos ^2\alpha +m\sin ^2\alpha ~$
3. $~100^{\lg m}~$
4. $~\log _2\sqrt[m]{2}~$
А. $~0~$
Б. $~m~$
В. $~2m~$
Г. $~m^2~$
Д. $~\frac{1}{m}~$
1. $~(m+1)^2–m^2−1~$
2. $~m\cos ^2\alpha +m\sin ^2\alpha ~$
3. $~100^{\lg m}~$
4. $~\log _2\sqrt[m]{2}~$
А. $~0~$
Б. $~m~$
В. $~2m~$
Г. $~m^2~$
Д. $~\frac{1}{m}~$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
22

Feleltesse meg az (1 – 4) felsorolt függvényeket és az (А – Д) felsorolt közös pontok számával, az $$y=\frac{x}{5}$$  függvény grafikonjával.

Установіть відповідність між функцією (1 ‒ 4) та кількістю спільних точок (А ‒ Д) графіка цієї функції з графіком функції $$y=\frac{x}{5}$$.

Függvény
1. $~y=x+5~$
2. $~y=5^x~$
3. $~y=\sqrt{x}~$
4. $~y=\sin x~$
Közös pontok száma
А. nincs közös pont
Б. csak egy
В. csak kettő
Г. csak három
Д. több, mint három
Функція
1. $~y=x+5~$
2. $~y=5^x~$
3. $~y=\sqrt{x}~$
4. $~y=\sin x~$
Кількість спільних точок
А. жодної
Б. лише одна
В. лише дві
Г. лише три
Д. більше трьох
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
23

A rajzon ábrázoltak egy $$1 cm$$  oldalhosszúságú $$ABCD$$  négyzet és egy derékszögű $$CDF$$  háromszög, amelynek $$CF$$  átfogója $$\sqrt{5}cm$$  egyenlő. Az alakzatok egy síkon fekszenek. Minden (1 – 4) mondat kezdethez rendeljen egy olyan (А – Д) mondat befejezést, hogy igaz állítást kapjon.

На рисунку зображено квадрат $$ABCD$$ зі стороною $$1 см$$ та прямокутний трикутник $$CDF$$, гіпотенуза якого $$CF$$ дорівнює $$\sqrt{5}см$$. Фігури лежать в одній площині. Установіть відповідність між початком речення (1 ‒ 4) та його закінченням (А ‒ Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

A mondat kezdete
1. A $CDF$ háromszög $FD$ befogója egyenlő
2. Az $ABCD$ négyzet köré írt körvonal sugara egyenlő
3. Az $F$ pont és $BC$ egyenlő közötti távolság egyenlő
4. Az $F$ pont és $BD$ egyenes közötti távolság egyenlő
A mondat befejezése
А. $~1\ cm~$
Б. $~\frac{1}{\sqrt{2}cm}~$
В. $~\sqrt{2}cm~$
Г. $~2\ cm~$
Д. $~\sqrt{5}cm~$
Початок речення
1. Довжина катета $~FD~$ трикутника $~CDF~$дорівнює
2. Довжина радіуса кола, описаного навколо квадрата $ABCD$, дорівнює
3. Відстань від точки $F$ до прямої $BC$ дорівнює
4. Відстань від точки $F$ до прямої $BD$ дорівнює
Закінчення речення
А. $~1\ cm~$
Б. $~\frac{1}{\sqrt{2}cm}~$
В. $~\sqrt{2}cm~$
Г. $~2\ cm~$
Д. $~\sqrt{5}cm~$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
24

A rajzon egy bizonyos adatsor gyakorisági poligonját ábrázolták, ahol az abszcissza tengelyen az adatsor elemeit tüntették fel, az ordináta tengelyen pedig a gyakoriságukat. Feleltesse meg az (1 – 4) adatsor jellemzőit az (А – Д) számértékének.

На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по осі абсцис відмічені елементи цього ряду, а по осі ординат — їхні частоти. Установіть відповідність між характеристикою (1 ‒ 4) цього ряду даних та її числовим значенням (А ‒ Д).

Az adatsor jellemzői
1. elemeinek száma
2. terjedelme
3. módusza
4. mediánja
Az adatsor jellemzőinek számértéke
А. $12$
Б. $18$
В. $21$
Г. $30$
Д. $36$
Характеристика ряду даних
1. кількість елементів
2. розмах
3. мода
4. медіана
Числове значення характеристики
А. $12$
Б. $18$
В. $21$
Г. $30$
Д. $36$
А
1
Б
2
В
3
Г
4
Д
25

A ruha eredeti ára $$144 hrn$$. Leárazáskor a ruha árát $$60%$$-kal csökkentették.

Початкова вартість сукні становила $$144 грн$$. Унаслідок уцінення вартість цієї сукні було зменшено на $$60%$$.

1. Számítsa ki a ruha leárazás utáni árát. ($hrn$.-ban)
1. Обчисліть вартість сукні після уцінення (у $грн$).
Válasz:Відповідь:
2. Hány százaléka a ruha eredeti ára a leárazás utáni árának?
2. Скільки відсотків становить початкова вартість сукні від її вартості після уцінення?
Válasz:Відповідь:
26

Az $$ABCD$$  paralelogramma $$AD$$  oldalán, mint a félkör átmérőjén egy félkör van szerkesztve úgy, hogy az egy $$M$$  pontban érinti a $$BC$$  oldalt. Az $$MD$$  körív hossza $$7,5\pi \ cm$$ .

На стороні $$AD$$ паралелограма $$ABCD$$ як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони $$BC$$ в точці $$M$$. Довжина дуги $$MD$$ дорівнює $$7,5\pi \ см$$.

1. Számítsa ki a félkör sugarának hosszát ($cm$-ben).
1. Обчисліть (у $см$) довжину радіуса цього півкола.
Válasz:Відповідь:
2. Számítsa ki az $ABCD$ paralelogramma területét ($cm^2$-ben).
2. Обчисліть площу паралелограма $ABCD$ (у $см^2$ ).
Válasz:Відповідь:
27

Ismeretes, hogy $$\frac{y-x}{2x}=\frac{3}{4}$$, ahol $$0<x<y$$ . Hányszor nagyobb az $$y$$  szám az $$x$$  számnál?

Відомо, що $$\frac{y-x}{2x}=\frac{3}{4}$$, де $$0 < x < y$$. У скільки разів число $$y$$ більше за число $$x$$?

Válasz:Відповідь:
28

A taxival utazás $$P$$  ($$hrn$$.-ban) ára a következő képlettel számítódik ki: $$P=\begin{cases}\text{} P_{min}+2,4\cdot (S-6)+0,5t, \textrm{ha } S>6 \\\text{} P_{min}, \textrm{ha }S\leq 6,\end{cases} $$ahol $$S$$- a taxival megtett távolság (km-ben) utazáskor,$$ P_{\min }$$-  az utazás minimális ára ($$hrn$$.-ban), $$t $$-  az idő ($$percben$$), amely alatt a taxi sebessége nem haladta meg az $$5 km/ó$$ -t. A képlet segítségével számítsa ki a taxival való utazás árát, ha $$S=10,5 km$$ , $$P_{\min }=28 hrn$$ , $$t=12$$ perc .

Вартість $$P$$$$грн$$) поїздки на таксі обчислюють за формулою: $$P=\begin{cases}\text{} P_{min}+2,4\cdot (S-6)+0,5t, \textrm{якщо } S>6 \\\text{} P_{min}, \textrm{якщо }S\leq 6,\end{cases} $$де $$S$$ — відстань (у $$км$$), яку проїхало таксі під час поїздки, $$P_{\min }$$ — мінімальна вартість поїздки (у $$грн$$), $$t$$ — час (у $$хв$$), протягом якого швидкість таксі не перевищувала $$5 км/год$$. Користуючись формулою, обчисліть вартість поїздки (у $$грн$$) на таксі, якщо $$S = 10,5 км$$, $$P_{\min } = 28 грн$$,$$ t = 12 хв$$.

Válasz:Відповідь:
29

Oldja meg a $$\log _{0,4}\left(5x^2-8\right)=\log _{0,4}\left(-3x\right)$$ egyenletet. Ha az egyenletnek egyetlen gyöke van, akkor írja be a feleletbe. Ha az egyenletnek több gyöke van, akkor a feleletbe írja be az összegüket.

Розв'яжіть рівняння $$\log _{0,4}\left(5x^2-8\right)=\log _{0,4}\left(-3x\right).$$ Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.

Válasz:Відповідь:
30

Oldja meg a $$\frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0$$  egyenlőtlenséget. A feleletbe írja be az egyenlőtlenség $$\left[-3;7\right]$$  intervallumhoz tartozó összes egész megoldásának az összegét.

Розв'яжіть нерівність $$\frac{10^x-16\cdot 5^x}{x+2}\ge 0$$. У відповіді запишіть суму всіх цілих розв'язків нерівності на проміжку $$\left[-3;7\right]$$.

Válasz:Відповідь:
31

Az egyenlőszárú trapéz átlója a hegyesszögének a szögfelezője és a trapéz középvonalát $$13 cm$$  és $$23 cm$$  hosszú szakaszokra osztja. Számítsa ki a trapéz területét ($$cm^2$$-ben).

Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною $$13 см$$ і $$23 см$$. Обчисліть (у $$см^2$$ ) площу трапеції.

Válasz:Відповідь:
32

Az ábrán az $$f\left(x\right)=ax^2+\frac{2b}{3}x+5$$ négyzetes függvény grafikonjának vázlatos rajza látható. Az $$y= f\left(x\right)$$ , $$y=0$$ , $$x=0$$ , $$x=1$$  vonalakkal határolt görbe trapéz területe $$21 négyzet$$ $$egységgel$$  egyenlő. Számítsa ki az $$a+b$$  összeget.

На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції $$f\left(x\right)=ax^2+\frac{2b}{3}x+5$$. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями $$y= f\left(x\right)$$ , $$y=0$$ , $$x=0$$ , $$x=1$$, дорівнює $$21 кв.$$$$ од.$$ Обчисліть суму $$a + b$$.

Válasz:Відповідь:
33

A henger alsó és felső alapköreihez tartozó $$A$$  és $$B$$  pontjain keresztül, amelyek nem egy alkotóhoz tartoznak, a henger tengelyéhez párhuzamos síkot húztak. Az alsó alaplapjának középpontjától a síkig a távolság $$2 cm$$  egyenlő, a keletkezett metszet területe pedig $$60\sqrt{2}cm^2$$ . Határozza meg az $$AB$$  szakasz hosszát ($$cm$$-ben), ha a henger oldalfelületének területe $$20\sqrt{30\pi }cm^2$$  egyenlő.

Через точки $$A$$ і $$B$$, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює $$2 см$$, а площа утвореного перерізу —  $$60\sqrt{2}см^2$$. Визначте довжину відрізка AB (у $$см$$), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює $$20\sqrt{30\pi }см^2$$.

Válasz:Відповідь:
34

Határozza meg az $$a$$  paraméter összes negatív értékét, amelyekkel a $$\begin{cases}
\text{} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3\left|x\right|=11-y \\
\text{} 25x^2-20ax=y^2-4a^2
\end{cases}$$
 egyenletrendszernek egyetlen megoldása van. Ha egy ilyen paraméterérték van, akkor azt írja be a feleletbe. Ha több ilyen paraméterérték van, akkor a feleletbe írja be az összegüket.

Знайдіть усі від'ємні значення параметра $$а$$, при яких система рівнянь $$\begin{cases}
\text{} 2\sqrt{y^2-4y+4}+3\left|x\right|=11-y \\
\text{} 25x^2-20ax=y^2-4a^2
\end{cases} $$
має один розв'язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповіді. Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їх суму.

Válasz:Відповідь: