Az $$AB$$ szakaszon egy $$M $$pontot úgy vettek fel, hogy az $$AM $$hossza háromszor nagyobb az $$MB $$hosszánál. Határozza meg az $$AB$$ szakasz hosszát, ha $$MB = 12 cm.$$

Az  $$\overline{OA}$$ vektor a térbeli koordinátarendszer $$O_z$$ tengelyén fekszik (lásd ábra) és kezdőpontja egybeesik az origóval. Határozza meg az $$\overline{OA}\ $$vektor koordinátáját, ha hossza egyenlő $$3$$.

Az $$ABC$$ hegyesszögű háromszögben meghúzták a $$BM$$ magasságot. Határozza meg az $$AB$$ oldal hosszát, ha $$BM=12$$, $$A\angle =\alpha$$.

Az $$AB$$ szakasz az $$\alpha$$ síkot egy $$O$$ pontban metszi. Az $$AO$$ és $$BO$$ szakaszok vetületei az $$\alpha$$ síkra megfelelően $$5 cm$$ és $$20 cm$$ egyenlő. Határozza meg az $$AB$$ szakasz hosszát, ha $$AO=8 cm$$.

A szabályos négyoldalú gúla magassága $$3cm$$-rel, az alaplapjának oldala pedig $$12cm$$-rel egyenlő. Határozza meg a gúla oldallapja élének hosszát.

A rajzon ábrázoltak egy $$1 cm$$  oldalhosszúságú $$ABCD$$  négyzet és egy derékszögű $$CDF$$  háromszög, amelynek $$CF$$  átfogója $$\sqrt{5}cm$$  egyenlő. Az alakzatok egy síkon fekszenek. Minden (1 – 4) mondat kezdethez rendeljen egy olyan (А – Д) mondat befejezést, hogy igaz állítást kapjon.

Az $$ABCD$$  paralelogramma $$AD$$  oldalán, mint a félkör átmérőjén egy félkör van szerkesztve úgy, hogy az egy $$M$$  pontban érinti a $$BC$$  oldalt. Az $$MD$$  körív hossza $$7,5\pi \ cm$$ .

Az egyenlőszárú trapéz átlója a hegyesszögének a szögfelezője és a trapéz középvonalát $$13 cm$$  és $$23 cm$$  hosszú szakaszokra osztja. Számítsa ki a trapéz területét ($$cm^2$$-ben).

A henger alsó és felső alapköreihez tartozó $$A$$  és $$B$$  pontjain keresztül, amelyek nem egy alkotóhoz tartoznak, a henger tengelyéhez párhuzamos síkot húztak. Az alsó alaplapjának középpontjától a síkig a távolság $$2 cm$$  egyenlő, a keletkezett metszet területe pedig $$60\sqrt{2}cm^2$$ . Határozza meg az $$AB$$  szakasz hosszát ($$cm$$-ben), ha a henger oldalfelületének területe $$20\sqrt{30\pi }cm^2$$  egyenlő.

A kúp köré háromoldalú gúla van írva, amelynek alaplapjának területe $$50\sqrt{3}$$ , alaplapjának kerülete pedig $$50$$. Határozza meg a kúp $$V$$  térfogatát, ha alkotójának hossza 4 egyenlő. A feleletbe írja be a $$\frac{V}{\pi }$$  értékét.

Az egyenes $$ABCD\ A_1B_1C_1D_1$$  négyoldalú hasáb alaplapja egy $$4 cm$$  és $$4\sqrt{3}cm$$  oldalhosszúságú téglalap. $$A,B_1$$ és $$C$$  csúcsokon áthaladó sík az alaplappal $$60^{\circ}$$ szöget alkot. Határozza meg a hasáb magasságát ($$cm​​​​​​​$$ -ben).

Az $$ABC$$  háromszögben az $$M$$  pont az $$AB$$  átfogó középpontja, amelynek hossza $$26 cm$$  egyenlő. Az $$O$$  pont a $$B$$  és $$C$$  csúcsoktól $$15 cm$$  távolságra van, a $$BC$$  oldaltól pedig $$10\sqrt{2}cm$$ -re. Az $$O$$  pontból a $$BC$$  befogóra $$OK$$  merőlegest húztak, a $$K$$  pont hozzátartozik az $$OM$$  szakaszhoz.

A rajzon egy $$O$$ középpontú körvonalat ábrázoltak, amelynek sugara $$6$$. A $$BC$$ húrt a körvonal középpontjából $$60^{\circ}$$  szög alatt látni, a $$BK$$ pedig az átmérő. Az $$A$$ ponton keresztül a körvonalhoz $$AB$$ érintőt húztak úgy, hogy az $$AO = 2AB$$. Feleltesse meg az (1 – 4) szakaszokat és azok (А – Д) hosszát.

A derékszögűkoordináta rendszerben adva van egy $$ABCD$$ paralelogramma, $$\cos A=0,4$$. Határozza meg a paralelogramma $$BD$$ átlójának hosszát, ha az $$\overrightarrow{AB} (6; – 8)$$ és $$\overrightarrow{AD}$$  vektorok skaláris szorzata egyenlő $$96$$.

A $$8 cm$$ és $$10 cm$$ oldalhosszúságú téglalap a kisebbik oldalán körül forog (lásd ábra).
Határozza meg a kapott forgástest teljes felszínének területét.

Az $$ABC$$  háromszög $$AK$$  magasságának talppontja a $$BC$$  oldal meghosszabbítására illeszkedik (lásd ábra). $$AK=6 , KB=2\sqrt{3}$$ . Az $$ABC$$  háromszög köré írt kör sugara $$15\sqrt{3}$$ egyenlő. Határozza meg az $$AC$$  hosszát.